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160 字
1 分钟
斐波那契数列及程序撰写
2025-11-09
2026-06-02

斐波那契数列具有如下的形式:

F(n)=F(n1)+F(n2) (n2,nN,F(0)=1,F(1)=1)F(n)=F(n-1)+F(n-2) \ (n\geq 2,n \in N^*,F(0)=1,F(1)=1)

后一项等于它的前两项之和。如果需要求解第n项,则需要n-1和n-2项,层层递进,如果在编程中,则会因为递归的深度有限无法完全很好的使用。

写成矩阵形式可以表示为如下的形式:

[F(n)F(n1)]=[1110][F(n1)F(n2)]\begin{bmatrix} F(n) \\ F(n-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} F(n-1) \\ F(n-2) \end{bmatrix}

矩阵形式很方便进行程序的递推计算,可以使用矩阵快速幂的形式进行计算。

通项公式如下,我认为一般不用记,更多的情况是初值不会从1开始。

an=15[(1+52)n(152)n]a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n] [F(n)F(n1)]=[1110]n1[10]\begin{bmatrix} F(n) \\ F(n-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} ^{n-1} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}
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