定义与基本性质#

旋转矩阵 R 是一个 3×3 的实正交矩阵，满足两个关键条件：

1. 正交性：RᵀR = RRᵀ = I，其中 I 是单位矩阵
2. 定向性：det(R) = 1

这两个条件确保了旋转矩阵保持向量的长度和角度，同时维持了手性（不产生镜像反射）。

代数结构#

所有三维旋转矩阵构成特殊正交群 SO(3)：

SO(3) = { R ∈ ℝ³ˣ³ | RᵀR = I, det(R) = 1 }

这个群结构使得旋转的组合、求逆等操作具有优美的代数性质。

1. 基本旋转矩阵#

绕三个坐标轴的基本旋转矩阵是构建更复杂旋转的基础：

2. 轴-角表示的旋转矩阵（罗德里格斯公式）#

对于绕单位轴 u = (uₓ, uᵧ, u_z) 旋转角度 θ 的情况，旋转矩阵为：

R(u, θ) = I + sinθ·[u]× + (1-cosθ)·[u]ײ

其中 [u]× 是 u 的叉积矩阵（反对称矩阵）：

[u]× = ⎡ 0 -u_z uᵧ ⎤ ⎢ u_z 0 -uₓ ⎥ ⎣ -uᵧ uₓ 0 ⎦

展开形式为：

R(u, θ) = ⎡ cosθ+uₓ²(1-cosθ) uₓuᵧ(1-cosθ)-u_z sinθ uₓu_z(1-cosθ)+uᵧ sinθ ⎤ ⎢ uᵧuₓ(1-cosθ)+u_z sinθ cosθ+uᵧ²(1-cosθ) uᵧu_z(1-cosθ)-uₓ sinθ ⎥ ⎣ u_zuₓ(1-cosθ)-uᵧ sinθ u_zuᵧ(1-cosθ)+uₓ sinθ cosθ+u_z²(1-cosθ) ⎦

3. 欧拉角构造的旋转矩阵#

根据旋转顺序（如ZYX顺序，即先绕Z轴，再绕Y轴，最后绕X轴），旋转矩阵为各轴基本旋转矩阵的乘积：

R(α, β, γ) = Rₓ(γ)·Rᵧ(β)·R_z(α)

注意矩阵乘法顺序与旋转顺序相反（从右向左应用）。

1. 特征值与特征向量#

每个旋转矩阵都有一个特征值 1，对应的特征向量就是旋转轴 u：

Ru = u

其余两个特征值为 e^{±iθ}，其中 θ 是旋转角度。

2. 指数映射与对数映射#

旋转矩阵可以通过指数映射从反对称矩阵（李代数 so(3) 的元素）生成：

R = exp([ω]×)

其中 [ω]× ∈ so(3)，ω = θu。反之，对数映射给出：

[ω]× = log(R)

3. 微分性质与角速度#

旋转矩阵的时间导数与角速度 ω 的关系为：

Ṙ(t) = [ω(t)]× R(t)

这个公式在刚体动力学中至关重要。

1. 向量旋转#

对于向量 v ∈ ℝ³，旋转后的向量为：

v’ = Rv

2. 坐标系变换#

在坐标系变换中，旋转矩阵表示从一个坐标系到另一个坐标系的旋转。如果点 p 在坐标系 A 中的坐标为 p_A，在坐标系 B 中的坐标为 p_B，且 R_AB 表示从 A 到 B 的旋转，则：

p_B = R_AB p_A

3. 旋转的复合#

先进行旋转 R₁，再进行旋转 R₂，复合旋转为：

R = R₂ R₁

注意矩阵乘法的顺序与旋转应用顺序相反。

4. 逆旋转#

旋转矩阵的逆等于其转置：

R⁻¹ = Rᵀ

这反映了旋转的可逆性。

1. 直接性与直观性#

旋转矩阵直接作用于向量坐标，计算简单直观：

v’ = Rv

2. 易于组合#

多个旋转通过矩阵乘法即可组合，符合线性代数标准框架。

3. 兼容性#

与许多现有数学和工程工具（如线性方程组求解、特征值分析）无缝集成。

4. 无奇点#

与欧拉角不同，旋转矩阵表示没有万向节锁问题（虽然从欧拉角构造时可能出现）。

1. 参数冗余#

SO(3) 是三维流形，但旋转矩阵使用 9 个参数（受 6 个约束条件限制），存在冗余。

2. 数值误差累积#

连续的矩阵乘法可能导致数值误差，破坏正交性条件，需要定期重新正交化。

3. 插值困难#

在两个旋转矩阵之间进行线性插值可能破坏正交性，球面线性插值需要转换为四元数。

4. 存储效率#

需要存储 9 个浮点数，相比之下四元数只需 4 个。

旋转矩阵 ↔ 欧拉角#

从欧拉角 (α, β, γ) 构造旋转矩阵如前述。反向转换需要求解三角方程：

给定旋转矩阵 R = [rᵢⱼ]，ZYX顺序的欧拉角为：

β = arcsin(r₁₃)（注意 ±π/2 的奇点情况） α = atan2(-r₂₃/cosβ, r₃₃/cosβ) γ = atan2(-r₁₂/cosβ, r₁₁/cosβ)

旋转矩阵 ↔ 四元数#

单位四元数 q = (w, x, y, z) 对应的旋转矩阵为：

R(q) = ⎡ 1-2y²-2z² 2xy-2wz 2xz+2wy ⎤ ⎢ 2xy+2wz 1-2x²-2z² 2yz-2wx ⎥ ⎣ 2xz-2wy 2yz+2wx 1-2x²-2y² ⎦

反向转换：给定旋转矩阵 R，对应的四元数为：

w = ½√(1 + r₁₁ + r₂₂ + r₃₃) x = (r₃₂ - r₂₃)/(4w) y = (r₁₃ - r₃₁)/(4w) z = (r₂₁ - r₁₂)/(4w)

需处理迹接近 -1 的特殊情况。

旋转矩阵 ↔ 轴-角表示#

通过特征值分解或罗德里格斯公式的反向应用实现转换。

计算机图形学#

在渲染管线中，模型矩阵、视图矩阵、投影矩阵都涉及旋转矩阵。模型变换的级联通过矩阵乘法实现：

M_total = M_n ⋯ M₂ M₁

机器人学#

机器人运动学中的齐次变换矩阵包含旋转部分：

T = ⎡ R p ⎤ ⎣ 0 1 ⎦

其中 R ∈ SO(3) 表示方向，p ∈ ℝ³ 表示位置。

姿态估计与传感器融合#

卡尔曼滤波等算法中，旋转矩阵用于表示和传播系统状态的方向估计。

物理学#

在刚体动力学中，惯性张量在不同坐标系间的变换：

I’ = R I Rᵀ

重新正交化方法#

由于数值误差，旋转矩阵可能偏离 SO(3)。常用重新正交化方法包括：

1. Gram-Schmidt 正交化：逐列正交化
2. 极分解：R = UP，其中 U 是正交矩阵，P 是对称正定矩阵
3. 奇异值分解：R = UΣVᵀ，取 UVᵀ 作为正交近似

归一化方法#

给定近似旋转矩阵 M，最接近的正交矩阵可通过求解优化问题得到：

min ‖M - R‖_F, s.t. RᵀR = I

解为 R = U Vᵀ，其中 M = UΣVᵀ 是 M 的奇异值分解。