基本定义#

四元数是一种超复数，可表示为：

q = w + xi + yj + zk = (w, v)

其中：

• w ∈ ℝ 是标量部分（实部）
• v = (x, y, z) ∈ ℝ³ 是向量部分（虚部）
• i, j, k 是满足特定代数关系的虚数单位

乘法规则#

四元数乘法的核心在于基本单位元之间的非交换关系：

i² = j² = k² = -1 ij = k, ji = -k jk = i, kj = -i ki = j, ik = -j

这一关系可简洁地记忆为：i → j → k → i 的循环顺序乘积为正，反向为负。

代数形式#

两个四元数 p = (w₁, v₁) 和 q = (w₂, v₂) 的乘积为：

pq = (w₁w₂ - v₁·v₂, w₁v₂ + w₂v₁ + v₁×v₂)

其中：

• · 表示向量的点积
• × 表示向量的叉积

这一公式揭示了四元数乘法如何将点积和叉积自然地统一起来。

单位四元数#

三维旋转由单位四元数表示，满足：

|q| = √(w² + x² + y² + z²) = 1

所有单位四元数构成三维球面 S³。

旋转表示定理#

绕单位轴 u = (uₓ, uᵧ, u_z) 旋转角度 θ 的四元数为：

q = cos(θ/2) + sin(θ/2)(uₓi + uᵧj + u_zk) = (cos(θ/2), sin(θ/2)u)

旋转运算公式#

向量 v ∈ ℝ³ 绕轴 u 旋转角度 θ 后的结果 v’ 可通过四元数运算得到：

将 v 视为纯四元数：v = (0, v) 则旋转后的向量为：

v’ = qvq⁻¹

其中 q⁻¹ = (cos(θ/2), -sin(θ/2)u) 是 q 的逆（对单位四元数，即共轭）。

复合旋转#

连续旋转对应于四元数乘法。先旋转 q₁ 再旋转 q₂ 的复合旋转为：

q = q₂q₁

注意乘法的顺序：q₂q₁ 表示先应用 q₁，再应用 q₂。

1. 紧凑性对比#

• 旋转矩阵：需要 9 个参数（满足正交约束）
• 欧拉角：需要 3 个参数（但存在奇点）
• 四元数：仅需 4 个参数（单位约束）

2. 避免万向节锁#

欧拉角参数化在俯仰角为 ±π/2 时出现奇点，导致自由度丢失。四元数作为 S³ 的整体参数化，无此类奇点。

3. 光滑插值#

球面线性插值（Slerp）公式：

Slerp(q₀, q₁, t) = \frac{\sin((1-t)Ω)}{\sinΩ} q₀ + \frac{\sin(tΩ)}{\sinΩ} q₁

其中 cosΩ = q₀·q₁（四元数点积）。

此插值在单位四元数空间上给出最短路径，确保旋转速度恒定。

4. 微分性质#

旋转的角速度 ω 与四元数导数之间的关系：

dq/dt = (1/2) ω q

其中 ω 是角速度的纯四元数形式。这一公式在物理仿真中极为有用。

基本运算#

1. 共轭：q* = (w, -v)
2. 逆：对于单位四元数，q⁻¹ = q*
3. 范数：|q| = √(w² + |v|²)
4. 规范化：q’ = q/|q|

与其他表示的转换#

计算机图形学#

• 相机姿态表示
• 骨骼动画中的关节旋转
• 方向滤波与平滑

机器人学#

• 刚体运动描述
• 姿态估计与传感器融合
• 机械臂运动学

航空航天#

• 飞行器姿态控制
• 卫星定向系统
• 惯性导航

物理学#

• 量子力学中的自旋表示
• 刚体动力学
• 相对论中的洛伦兹变换（四元数的推广）