核心定义#

欧拉角通过三次连续的绕轴旋转，描述一个坐标系相对于另一个坐标系的姿态。这三个角度通常记作 (α, β, γ)，对应三个基本旋转的序列。

旋转顺序的多样性#

欧拉角的本质在于旋转顺序。常见的顺序有：

• ZYX顺序（航偏角-俯仰角-翻滚角）：航空航天领域标准
• ZYZ顺序：机械臂和经典力学常用
• XYZ顺序：部分计算机图形学应用

每种顺序定义了不同的姿态参数化方式，体现了“分解复杂旋转为简单步骤”的核心思想。

基本旋转矩阵回顾#

绕三个坐标轴的基本旋转矩阵是欧拉角的构建基础：

欧拉角组合公式#

对于特定的旋转顺序，总旋转矩阵是基本旋转矩阵的乘积。以最常见的ZYX顺序（航空航天顺序）为例：

R(ψ, θ, φ) = Rₓ(φ) Rᵧ(θ) R_z(ψ)

注意相乘顺序与旋转应用顺序相反：先进行的旋转放在乘积最右侧。

展开形式为： R(ψ, θ, φ) = ⎡ cosθ cosψ cosψ sinθ sinφ - cosφ sinψ cosψ cosφ sinθ + sinψ sinφ ⎤ ⎢ cosθ sinψ sinψ sinθ sinφ + cosφ cosψ sinψ cosφ sinθ - cosψ sinφ ⎥ ⎣ -sinθ cosθ sinφ cosθ cosφ ⎦

不同顺序的对比#

不同旋转顺序对应不同的物理意义：

1. 航空航天顺序（Z→Y→X）：
   • ψ（偏航角）：绕Z轴旋转，水平方向指向
   • θ（俯仰角）：绕Y轴旋转，抬头低头
   • φ（翻滚角）：绕X轴旋转，左右倾斜
2. 经典力学顺序（Z→Y→Z）：
   • 常用于刚体动力学
   • 第一个Z旋转：进动角
   • Y旋转：章动角
   • 第二个Z旋转：自旋角

万向节锁：欧拉角的致命缺陷#

当俯仰角 θ = ±π/2 时，万向节锁现象发生。此时，旋转矩阵简化为：

R(ψ, π/2, φ) = ⎡ 0 sin(φ-ψ) cos(φ-ψ) ⎤ ⎢ 0 cos(φ-ψ) -sin(φ-ψ) ⎥ ⎣ -1 0 0 ⎦

此时偏航角 ψ 和翻滚角 φ 失去独立性，只有它们的差值 (φ-ψ) 影响最终旋转。这意味着系统丢失了一个自由度，无法表示所有可能的方向。

直观理解万向节锁#

想象一个摄影云台：当相机垂直向上或向下时（俯仰角±90°），水平旋转轴与垂直旋转轴对齐，导致一个旋转自由度失效。这正是欧拉角参数化的奇点问题。

从欧拉角到旋转矩阵#

给定欧拉角 (ψ, θ, φ) 和旋转顺序，通过矩阵乘法即可得到旋转矩阵。以ZYX顺序为例：

R = Rₓ(φ) Rᵧ(θ) R_z(ψ)

从旋转矩阵到欧拉角#

反向转换需要求解三角方程。对于ZYX顺序，给定旋转矩阵 R = [rᵢⱼ]：

θ = -arcsin(r₃₁) （俯仰角）

φ = atan2(r₃₂/cosθ, r₃₃/cosθ) （翻滚角）

ψ = atan2(r₂₁/cosθ, r₁₁/cosθ) （偏航角）

注意当 cosθ = 0（即θ = ±π/2）时，出现万向节锁，此时只能确定 (φ - ψ)。

插值问题#

在两个欧拉角表示之间进行线性插值通常会产生非均匀旋转，因为欧拉角空间不是线性的。直接插值可能导致旋转轴和角速度的异常变化。

航空航天与导航#

在飞行器控制中，欧拉角提供直观的姿态反馈：

• 偏航角：航向，磁北方向的偏角
• 俯仰角：飞机轴线与水平面的夹角
• 翻滚角：飞机绕纵轴的旋转

机械工程与机器人学#

机械臂关节角度通常用欧拉角或类似概念描述，每个关节的旋转可视为一个基本旋转。

计算机图形学与游戏开发#

虽然内部计算常用四元数，但用户界面通常使用欧拉角，因为它更符合人类的直观理解。三维建模软件中的旋转工具常提供欧拉角输入。

虚拟现实与运动捕捉#

头部和手部追踪数据常以欧拉角形式传输，便于快速理解和处理。

1. 直观性与可解释性#

三个角度直接对应可理解的物理量：偏航、俯仰、翻滚，无需抽象数学转换。

2. 最小参数表示#

SO(3)是三维流形，欧拉角恰好使用三个参数，是最小参数化表示（除奇点外）。

3. 广泛接受的标准#

在航空航天、航海等领域已成为标准术语和显示方式。

4. 易于约束#

在动画和控制系统中，可以方便地对单个角度施加约束（如“俯仰角不超过30度”）。

1. 万向节锁问题#

如前所述，当俯仰角接近±90°时，系统失去一个自由度，这是欧拉角表示的内在缺陷。

2. 非唯一性#

同一个旋转可能有不同的欧拉角表示，例如： (ψ, θ, φ) ≡ (ψ + π, π - θ, φ + π)

3. 插值困难#

简单线性插值不保持球面最短路径，可能导致旋转路径扭曲。

4. 计算复杂度#

与四元数相比，三角函数计算量较大，特别是在需要频繁转换的场合。

5. 奇点问题#

除了万向节锁，不同的欧拉角顺序还有其他类型的奇点。

欧拉角 ↔ 旋转矩阵#

如前所述，通过基本旋转矩阵的乘积实现转换。这是欧拉角最自然的转换关系之一。

欧拉角 ↔ 四元数#

对于ZYX顺序的欧拉角 (ψ, θ, φ)，对应的四元数为：

q = q_z(ψ) q_y(θ) q_x(φ)

其中每个基本旋转的四元数为： q_x(φ) = (cos(φ/2), sin(φ/2), 0, 0) q_y(θ) = (cos(θ/2), 0, sin(θ/2), 0) q_z(ψ) = (cos(ψ/2), 0, 0, sin(ψ/2))

四元数乘法后得到总四元数，反之可通过四元数到旋转矩阵的转换间接得到欧拉角。

欧拉角 ↔ 轴-角表示#

可通过旋转矩阵或四元数作为中间表示进行转换。轴-角表示无奇点，但不如欧拉角直观。

万向节锁的应对#

1. 切换旋转顺序：当接近奇点时，切换到不同的欧拉角顺序
2. 四元数中间表示：内部使用四元数计算，仅在输入输出时转换为欧拉角
3. 限制运动范围：在可能遇到奇点的应用中，限制俯仰角范围（如-85°到85°）

插值策略#

1. 转换为四元数：使用四元数的球面线性插值（SLERP）
2. 分段插值：在远离奇点的区域使用欧拉角插值，接近奇点时切换方法

Tait-Bryan角#

航空航天中常用的ZYX顺序实际上是Tait-Bryan角的一种，使用三个不同的轴，区别于经典欧拉角的重复轴使用。

欧拉向量#

结合轴-角表示和欧拉角的思想，使用旋转轴和角度的一半正余弦作为参数，可避免奇点同时保持部分直观性。